Monday, 26 September 2011

PERPULUHAN


Dalam matematik, perpuluhan berulang 0.999…, yang juga ditulis sebagai 0.\bar{9} , 0.\dot{9} atau \ 0.(9), menandakan sebuah nombor nyata sama dengan nombor 1. Dalam maksud lain, "0.999…" mewakili nombor yang sama dengan simbol "1". Persamaan ini telah lama diterima oleh ahli matematik profesional dan diajar di dalam buku-buku teks. Berbagai-bagai bukti matematik terhadap identiti ini telah dirumuskan dengan bermacam-macam kekerasan matematik, tumbesaran nombor nyata yang diutamakan, andaian latar belakang, kandungan sejarah dan kumpulan sasaran masyarakat.
Beberapa abad yang lalu, para penyelidik dalam bidang pembelajaran matematik telah mengkaji penerimaan persamaan ini di antara para pelajar. Sebilangan besar telah menolak atau membantah persamaan tersebut, pada peringkat awalnya. Kebanyakan daripada mereka terpesong akibat buku-buku teks, para guru dan penaakulan aritmetik seperti di bawah untuk menerima bahawa kedua-dua daripada persamaan ini adalah serupa. Walaubagaimanapun, mereka seringkali tidak disenangi, seterusnya mempelawa hujah-hujah yang lebih mendalam lagi. Pertimbangan para pelajar dalam menolak atau menerima persamaan ini adalah secara umumnya berdasarkan salah satu daripada intuisi terhadap nombor-nombor benar yang silap; sebagai contoh, bahawa setiap nombor benar mempunyai sebuah perkembangan perpuluhan yang unik, serta infinitesimal (perpuluhan tidak terhad) bukan sifar seharusnya wujud, ataupun bahawa perkembangan persamaan 0.999… akhirnya menemui jalan mati. Sistem-sistem bernombor yang memikul intuisi-intuisi ini boleh dibina, namun berada di luar sistem bertaraf umum nombor benar yang digunakan dalam matematik tahap rendah, dan juga tahap tinggi. Memang benar, sesetengah mengandungi nombor-nombor yang "pantang" bernombor 1; selalunya ini tidak berkaian dengan 0.999…, namun dianggap sesuatu yang cukup menarik dalam analisis matematik.
Ketidak-unikan akan perkembangan benar seperti 0.999… tidak terhad kepada sistem perpuluhan sahaja. Kejadian yang serupa berlaku dalam integer base selain daripada nombor 10, dan ahli matematik juga telah menyatakan kaedah untuk menulis nombor 1 dalam base bukan integer. Namun kejadian ini bukannya tertakluk kepada 1 sahaja: setiap nombor perpuluhan bukan sifar memiliki satu kembar dengan nombor-nombor 9 yang mengikutnya. Di atas sebab-sebab kemudahan, perpuluhan tersebut seringkali menjadi wakil yang digemari, seterusnya menyumbang kepada kesalahan konsep yang mengatakan bahawa ia adalah satu-satunya wakil yang wujud. Namun sebenarnya, apabila perkembangan tidak terhad dibenarkan, setiap sistem posisi bernombor mengandungi satu nombor yang tidak terbatas akan perwakilan alternatif nombor-nombor. Sebagai contoh, 28.3287 merupakan nombor yang sama dengan 28.3286999…, 28.3287000, atau nombor-nombor perwakilan yang lain. Identiti-identiti berbeza ini telah digunakan bagi kemudahan untuk memahami corak dalam perkembangan perpuluhan terhadap pecahan dan struktur ringkas suatu frektal, iaitu Set Kandor. Mereka juga berlaku dalam sebuah penyiasatan klasik tentang kejadian tidak terhad terhadap suatu set nombor-nombor benar.



Link :
http://www.youtube.com/watch?v=Os7zKwY91LY
atau
http://www.youtube.com/watch?v=OCqEXZbt1e0&feature=related

PECAHAN


Pecahan (Bahasa Inggeris: fraction dari Bahasa Latin fractus, "dipecahkan") ialah nombor yang mewakili sebahagian daripada keseluruhan atau sekumpulan benda.
Pecahan terawal adalah salingan integer-integer yang menggunakan simbol mewakili satu perdua, satu pertiga, satu perempat, dan seterusnya.
Dalam perkembangan seterusnya, pecahan "kasar" atau pecahan biasa telah dibangunkan dan ia masih digunakan sehingga hari ini. Pecahan ini terdiri daripada satu pengangka dan satu penyebut, pengangka mewakili beberapa bahagian sama dan penyebut menunjukkan berapa banyak bahagian-bahagian tersebut yang membentuk keseluruhan. Sebagai contoh dalam pecahan 3/4,pengangka, 3, menunjukkan 3 bahagian sama, sementara penyebut, 4, menunjukkan yang 4 bahagian yang membentuk keseluruhan.
Kemudian, pecahan pepuluhan pula diperkenalkan, yang kini hanya dikenali sebagai "perpuluhan". Penyebutnya adalah nombor asas sepuluh yang dikuasakan dengan nombor yang ditentukan oleh bilangan digit di kanan titik perpuluhan. Jadi nombor perpuluhan 0.75 mempunyai pengangka 75 dan penyebut 10 kuasa 2 (kerana terdapat 2 digit di kanan titik perpuluhan). Jadi penyebutnya ialah 100.
Jenis pecahan ketiga yang sering digunakan ialah "peratusan", yang menggunakan penyebut 100 sahaja. Jadi, 75 peratus bermaksud 75/100.
Dalam matematik, set untuk semua pecahan (kasar) dipanggil set nombor nisbah dan diwakili simbol Q.
Penggunaan lain pecahan ialah untuk menunjukkan nisbah dan pembahagian. Jadi, pecahan 3/4 juga digunakan untuk menunjukkan nisbah 3:4 (tiga kepada empat) dan pembahagian 3 ÷ 4 (tiga dibahagikan dengan empat).


Menulis pecahan

Pecahan biasa atau kasar biasanya ditulis dalam satu pasangan nombor, nombor di atas dikenali sebagai pengangka sementara yang di bawah dikenali sebagai penyebut. Lazimnya, satu garisan memisahkan keduanya. Jika garisan ini mencondong, ia digelar solidus atau slash, contoh 34. Jika garisannya melintang, ia digelar vinculum atau secara tidak rasmi, "palang pecahan", seperti : \tfrac{3}{4}.
Tanda solidus boleh diabaikan dari gaya mencondong (cth. 34), yang mengurangkan ruang tetapi masih memberi makna dalam konteksnya, ia banyak digunakan dalam isyarat lalu lintas di beberapa negara.
Dalam paparan komputer dan tipografi, beberapa pecahan dinyatakan dalam satu angka. Antaranya:
  • ¼ (satu perempat)
  • ½ (satu perdua)
  • ¾ (tiga perempat)
  • ⅓ (satu pertiga)
  • ⅔ (dua pertiga)
  • ⅛ (satu perlapan)
  • ⅜ (tiga perlapan)
  • ⅝ (lima perlapan)
  • ⅞ (tujuh perlapan)




Penggunaan

Pecahan lebih banyak digunakan apabila penyebutnya kecil. Adalah mudah untuk mendarab 32 dengan 316, berbanding mendarabnya dengan nombor perpuluhan untuk pecahan tersebut, (0.1875). Adalah juga lebih tepat mendarab 15 dengan 13, berbanding mendarabnya dengan nombor perpuluhan untuk satu pertiga (0.333...). Untuk mengubah satu pecahan menjadi nombor perpuluhan, bahagikan pengangka dengan penyebut, dan bundarkan kepada ketepatan yang diingini.


Bentuk pecahan


Pecahan biasa, pecahan wajar dan pecahan tak wajar

Pecahan kasar (atau pecahan biasa) ialah satu nombor nisbah yang ditulis dengan satu integer (pengangka) yang [[pembahagian dibahagikan]] dengan satu integer bukan sifar (penyebut).
Satu pecahan kasar akan menjadi pecahan wajar apabila nilai mutlak pengangka adalah kurang dari nilai mutlak penyebut; yang menjadikan nilai mutlak keseluruhan pecahan kurang daripada 1. Pecahan kasar akan menjadi pecahan tak wajar apabila nilai mutlak pengangka adalah lebih besar atau sama dengan nilai mutlak penyebut (cth. 97).


Nombor bercampur

Nombor bercampur ialah campuran nombor bulat dan pecahan wajar. Penambahan ini dinyatakan tanpa menggunakan tanda operasi seperti "+"; sebagai contoh, untuk merujuk 2 kek penuh dan 1 kek dengan tiga perempat bahagian, bahagian penuh dan bahagian pecahan itu ditulis bersebelahan. 2+\tfrac{3}{4}=2\tfrac{3}{4}.
Satu pecahan tak wajar boleh digunakan untuk menyatakan satu nombor bercampur, seperti 2\tfrac{3}{4}. Boleh dibayangkan yang setiap kek penuh itu dibahagikan kepada empat bahagian, menjadikan penyebut untuk kek penuh (nombor bulat) sama dengan penyebut kek yang telah dipotong, \tfrac{3}{4}. Jadi, setiap kek penuh diwakili dengan pecahan \tfrac{4}{4}, jadi \tfrac{4}{4}+\tfrac{4}{4}+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4}ialah cara lain untuk menulis nombor bercampur 2\tfrac{3}{4}.
Nombor bercampur boleh ditukar menjadi pecahan tak wajar dalam tiga langkah:
  1. Darabkan nombor bulat dengan penyebut pecahan.
  2. Tambah pengangka pecahan pada hasil darab di atas.
  3. Hasil tambah langkah 2 adalah pengangka untuk pecahan (tak wajar) baru, dengan penyebut 'baru' nya kekal sama dengan penyebut untuk pecahan asal nombor bercampur.
Sebaliknya, pecahan tak wajar juga boleh ditukar menjadi nombor bercampur:
  1. Bahagikan pengangka dengan penyebut.
  2. Hasil bahagi (tanpa baki) menjadi nombor bulat manakala bakinya menjadi pengangka untuk pecahan.
  3. Penyebut baru untuk pecahannya adalah sama dengan pecahan tak wajar yang asal.


Pecahan setara

Dengan mendarab pengangka dan penyebut sesuatu pecahan dengan nombor yang sama (bukan sifar), hasil pecahan yang baru adalah setara dengan pecahan asal. Perkataan setaradi sini bermaksud, kedua-dua pecahan memiliki nilai yang sama yang mengekalkan integriti yang sama - Perimbangan dan perkadaran yang sama. Ini adalah benar kerana mana-mana nombor n, didarab dengan \tfrac{n}{n} adalah sama dengan pendaraban dengan satu, dan sebarang nombor yang didarab dengan satu mempunyai nilai yang sama dengan nombor asal. Contohnya, untuk pecahan \tfrac{1}{2}: apabila kedua-dua pengangka dan penyebut didarab dengan 2, hasilnya adalah \tfrac{2}{4}, yang memiliki nilai yang sama (0.5) dengan \tfrac{1}{2}. Untuk gambaran lebih jelas, bayangkan kek (dalam gambar di atas) dipotong menjadi empat bahagian; 2 dari empat bahagian ini (\tfrac{2}{4}) mewakili separuh kek (\tfrac{1}{2}).
Contoh: \tfrac{1}{3}\tfrac{2}{6}\tfrac{3}{9} dan \tfrac{100}{300} kesemuanya adalah pecahan setara.
Membahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor (bukan sifar) yang sama juga menghasilkan pecahan setara. Ia dikenali sebagai mengurangkan atau memudahkan pecahan. Satu pecahan yang pengangka dan penyebutnya tidak mempunyai faktor yang sama (selain 1) adalah dianggap tidak boleh dimudahkan dan berada dalam bentuk termudah atau sebutan terendah. Sebagai contoh, \tfrac{3}{9} bukanlah satu pecahan termudah kerana 3 dan 9 mempunyai faktor yang sama iaitu 3. Sebaliknya, \tfrac{3}{8} ialah pecahan termudah kerana satu-satunya faktor untuk 3 dan 8 ialah 1.


Salingan dan "penyebut halimunan"

Salingan sesuatu pecahan ialah pecahan dengan pengangka dan penyebutnya diterbalikkan. Contohnya, salingan untuk \tfrac{3}{7}, ialah \tfrac{7}{3}.
Oleh kerana hasil bahagi sebarang nombor dengan 1 adalah sama dengan nombor itu, nombor bulat juga boleh ditulis dalam pecahan dengan menggunakan 1 sebagai penyebut: 17 = \tfrac{17}{1}(kadang-kadang 1 dirujuk sebagai "penyebut halimunan"). Maka, kecuali untuk sifar, setiap pecahan atau nombor bulat memiliki satu salingan. Salingan untuk 17 ialah \tfrac{1}{17}.


Pecahan kompleks

Pecahan kompleks (atau pecahan majmuk) ialah pecahan yang pengangka atau penyebutnya mengandungi pecahan. Contohnya, \cfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}} dan \frac{12\frac{3}{4}}{26} merupakan pecahan kompleks. Untuk memudahkan satu pecahan kompleks, bahagikan pengangka dengan penyebut seperti dalam pecahan yang lain (lihat bahagian pembahagin untuk keterangan lebih lanjut):
\cfrac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{3}}=\tfrac{1}{2}\times\tfrac{3}{1}=\tfrac{3}{2}=1\frac{1}{2}.
\cfrac{\tfrac{3}{2}}5=\tfrac{3}{2}\times\tfrac{1}{5}=\tfrac{3}{10}.
\cfrac{8}{\tfrac{1}{3}}=8\times\tfrac{3}{1}=24.



Link :
http://www.youtube.com/watch?v=Ghwh1qfWE1k&feature=related
atau
http://www.youtube.com/watch?v=a4iT_sbibRY

PERATUS


Dalam ilmu matematik, peratusan ialah cara menyatakan nombor sebagai sebuah pecahan daripada 100 (peratus bermaksud per seratus). Ia sering ditandai dengan tanda peratus, %. Sebagai contoh, 45% (dibaca sebagai "empat puluh lima peratus") sama dengan 45 / 100 atau 0.45.
Peratusan juga digunakan untuk menjelaskan sebesar mana sesebuah kuantiti dibandingkan dengan kuantiti yang lain. Kuantiti pertama seringkali mewakili sesebuah bahagian atau satu perubahan pada kuantiti kedua, yang sepatutnya lebih besar daripada sifar. Sebagai contoh, pertambahan $0.15 pada satu barangan yang harga asalnya bernilai $2.50 ialah peningkatan sebanyak 0.15 / 2.50 = 0.06 Nilai ini dinyatakan di dalam bentuk peratusan sebagai peningkatan sebanyak 6%.
Walaupun peratusan selalunya digunakan untuk menyatakan nombor-nombor di antara sifar dan satu, apa jua perkadaran tanpa matra boleh dinyatalkan dengan menggunakan peratusan. Sebagai contoh 111% ialah 1.11 dan -0.35% ialah -0.0035.